lunes, 29 de diciembre de 2014

Problema matemático

Una situación simple

Para entender bien el problema, podemos partir de la situación más simple que nos permitan nuestras hipótesis. Los únicos datos de los que disponemos son que el número de bolas rojas y blancas no es mayor que 20 y la probabilidad de dos blancas es 1/2.
Por ser esta probabilidad positiva -mayor que 0- es obvio que al menos debemos tener dos bolas de este color. Además, por ser menor que 1 debemos también tener al menos una bola roja. En esta situación, con tres bolas en total, tenemos dos posibles combinaciones al sacar dos bolas de la caja: o bien sacar las dos blancas o bien una roja y una blanca, pero en este último caso tenemos dos opciones pues la roja se puede combinar con las otras dos. Tres casos, de los cuales, solo uno es favorable, de modo que la probabilidad – casos favorables entre totales – es 1/3, que es menor que 1/2, por lo que debemos aumentar la probabilidad de las bolas blancas.
Al añadir una bola blanca, de modo que en total tenemos cuatro bolas, tres blancas y una roja, las combinaciones son las mismas, o dos blancas o una roja y otra blanca, pero la probabilidad cambia. Ahora tenemos tres maneras de sacar dos blancas (enumerando las bolas de ese color, 1-2, 1-3, 2-3) y otras tres para la combinación roja-blanca (R-1, R-2, R-3). Seis casos, de los cuales, solo tres son favorables, y la probabilidad es 3/6, es decir, 1/2.
Esto demuestra que 3 bolas blancas y 1 roja satisfacen nuestras hipótesis, y es imposible obtener dos rojas de la caja, de ahí la probabilidad 0. Pero ¿es esta la única solución? ¿no podría haber otra combinación añadiendo más bolas?

Solución general

Escribimos B para representar el número de bolas blancas y T para el número total de bolas. Recordamos que las hipótesis de partida son:
T≤ 20 y P(dos bolas blancas)=1/2
Sacar de la caja dos bolas a la vez, o sacar una y luego otra, aquí es equivalente. En la primera extracción, tenemos B bolas blancas por lo que la probabilidad es B/T, mientras que en la segunda extracción tenemos B-1 bolas blancas de un total de T-1 bolas, entonces la probabilidad de dos bolas blancas es:
B(B-1)/T(T-1)
y despejando se tiene:
B(B-1)=T(T-1)/2
Es decir, buscamos que T(T-1)/2 sea producto de dos números consecutivos.
Al dar valores a T -desde 2 hasta 20- se comprueba que la única solución es tomar T=4 (en esa situación, que es la que hemos tratado antes, 3*2=6=4*3/2). Si queremos trabajar un poco menos, podemos observar que en realidad no es necesario comprobar todos los casos. Como la parte izquierda debe ser par, pues es producto de dos números consecutivos (o bien B es par o bien B-1 lo es) entonces, la parte derecha también debe serlo. Es obvio que T(T-1) es par, por la misma razón, pero el factor 1/2 obliga a que T(T-1) sea doblemente par. Por lo tanto, basta comprobar los múltiplos de 4 y sus consecutivos inmediatos, números de la forma 4m o 4m+1 (pues no sabemos si el múltiplo de 4 es T o bien T-1).
Paramos en 20, pues esa era nuestra hipótesis, pero si no tuviéramos ese dato ¿qué ocurriría? Por ejemplo, tomando T=21 podemos escribir 15*14=210=21*20/2, por lo que con 21 bolas, 15 de ellas blancas y 6 rojas, la probabilidad de sacar dos blancas sería 1/2 y la de sacar dos rojas, 1/14. De hecho, se puede probar que existen infinitas soluciones a nuestro desafío si no ponemos restricciones en el número de bolas.

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